تعليقات

قانون المعاملة بالمثل التربيعية وغاوس الأعداد الصحيحة


في عام 1825 ، نشر عالم الرياضيات الألماني كارل ف. غاوس ورقة تقدم فيها أعدادًا معقدة من النموذج م + نأناحيث م و ن هي أعداد صحيحة و أنا = (-1)1/2، عند التحقيق في القضايا المتعلقة بالمثل من رباعي الزوايا. تمثل قوانين المعاملة بالمثل واحدة من أكثر النتائج إثارة للاهتمام في نظرية الأعداد. وُلدت هذه القوانين من خلال نظرية المعاملة بالمثل التربيعية التي أظهرها غاوس والتي خمنها سابقًا بيير دي فيرمات وليونارد يولر وجوزيف ليجيندر. قام ديفيد هيلبرت ، وبعد ذلك أندريه ويل ، بتعميم هذه القوانين ولم يتم فهمها بشكل كامل في المواقف العامة.

ربما كان قانون المعاملة بالمثل التربيعي (LRQ) أحد النتائج العميقة الأولى لنظرية الأعداد الحديثة. في الأصل ، تم تخمينه بشكل مستقل من قبل Euler و Legendre في النصف الأول من القرن الثامن عشر. ومع ذلك ، فقد حصلوا فقط على مظاهرة لحالات معينة. في عام 1795 اكتشف غاوس ذلك بنفسه ، لكنه لم يشعر أنه قادر على إثبات ذلك ، وفي رسالة ذكرت أن المظاهرة عذبته لمدة عام واستهلكت قصارى جهده. في التاسعة عشرة من عمره ، في 8 أبريل 1796 ، قدم غاوس العرض الأول لقانون المعاملة بالمثل التربيعية ووجد خلال حياته مظاهرات أخرى لهذه النتيجة.

قبل أن نذكر هذه النتيجة ، دعونا نتذكر مفهوم التطابق الذي شوهد في الأعمدة الأخيرة في "Riemann Zeta Function والإنترنت". قدم غاوس مفهوم التطابق في الفصل الأول من عمله "Disquitiones Arithmeticae" الذي نشر في عام 1801. في ذلك الوقت قدم أيضًا تدوين "≡" الذي جعل هذا المفهوم تقنية قوية في نظرية الجبر ونظرية الأعداد. دعنا نذهب إلى التعاريف.

ونحن نعتبر اثنين من الأعداد الصحيحة ال, ب و ن عدد صحيح إيجابي. إذا ن منقسم ال - ب نحن نقول ذلك

ال é منسجم ال ب مودولو ن، وكتبنا الب (وزارة الدفاع ن).

على سبيل المثال: 27 ≡ 2 (mod 5) ، لأن 5 يقسم 27 - 2 = 25 ، 7 ≡ 7 (mod 4) ، لأن 4 يقسم 7 - 7 = 0.

لذلك، الب (وزارة الدفاع ن) يعني ذلك ن منقسم ال - ب. قريبا هناك عدد صحيح ك مثل هذا ال - ب = KN من خلال تعريف القسمة. على سبيل المثال ، 37 ≡ 2 (mod 5) لأن 37 - 2 = 35 = 7 • 5. بالنظر إلى الأعداد الصحيحة ال و ن نعلم من قسم الخوارزمية أن هناك أعداد صحيحة ف و ص يشار إليها على التوالي بالقيمة الباقية والباقي بحيث: ال = QN + صحيث 0 ≤ ص < ن. قريبا ال - ص = QNأي ن منقسم ال - ص. لذلك ، من خلال تعريف التطابق الص (وزارة الدفاع ن). الباقي ص يمكن أن نفترض أي قيمة بين 0 و ن - 1 ، لذلك نستنتج أن كل عدد صحيح ال هو وحدة متطابقة ن لواحدة من القيم بين 0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن - 1. المجموعة {0 ، 1 ، 2 ، ... ، ن -1} من ن أعداد صحيحة هي بقايا أقسام الوحدة النمطية ن، ويسمى وحدة فئة النفايات ن. إذا كنا إصلاح ن = 7 ، ثم تحتوي فئة الوحدة 7 على 7 عناصر بالضبط ، وهي: 0 ، 1 ، 2 ، ... ، 6. لذلك ، أيا كان عدد الأعداد الصحيحة ، فهي متطابقة مع عنصر واحد من فئة الوحدة 7. على سبيل المثال ، 20 يمثلها 6 في فئة النفايات ، على أنها 20 ≡ 6 (mod 7).

نظرًا للعديد من الخصائص المتشابهة التي تلبي المطابقة والمساواة ، اختار غاوس الرمز "for" لعلامة التطابق. لاحظ ذلك الال (وزارة الدفاع ن) وإذا الب (وزارة الدفاع ن) ثم بال (وزارة الدفاع ن). عمليات الضرب والضرب تتصرف كالتالي: if الب (وزارة الدفاع ن) و جد (وزارة الدفاع ن) ، ثم: + ج ب + د (وزارة الدفاع ن), ال ج ب د (وزارة الدفاع ن), الصبص (وزارة الدفاع ن).

تساءل أويلر تحت أي ظروف التطابق س2ف (وزارة الدفاع ص) اعترف بحل أبناء العم ص و ف معطيات. عندما يكون لهذا التطابق حلاً نقول ذلك ف إنه بقايا من الدرجة الثانية وحدة ص. خلاف ذلك ، نقول ذلك ف إنه بقايا غير من الدرجة الثانية وحدة ص. لذلك ، فإن النفايات من الدرجة الثانية وحدة ص هي تلك العناصر من فئة مجموعة بقايا الوحدة النمطية ص التي هي مربع. إذا كنا إصلاح ن = 7 ثم فئة المعامل 7 تحتوي على 7 عناصر بالضبط ، وهي: 0 ، 1 ، 2 ، ... ، 6 ، و 3 عناصر بالضبط ، وهي: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32هذا هو ، 32 = 9 ≡ 2 (mod 7). لذلك ، العدد الصحيح 2 هو معامل البقايا التربيعية 7. ومع ذلك ، 5 هو المعيار الباقي غير التربيعي 7 ، حيث أن أي من عناصر المجموعة {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} تفي بالمعادلة. س2 ≡ 5 (وزارة الدفاع 7).

تكمن أهمية نظرية البقايا التربيعية في السؤال التالي: لأي أعداد أولية غريبة ص و فهناك علاقة بين ملكية ص تكون وحدة بقايا من الدرجة الثانية ف مع ممتلكات ف تكون وحدة بقايا من الدرجة الثانية ص؟ لذلك ، نحن نناقش طبيعة المعاملة بالمثل من المخلفات التربيعية.

في عام 1640 ، أعلن فيرما النظرية التالية ، والمعروفة الآن باسم نظرية فيرما الصغيرة:

"إذا ص هو ابن عم غريب لا يقسم عددًا صحيحًا الثم الص - 1 ≡ 1 (وزارة الدفاع ص).”

كما ص غريب ، ويترتب على ذلك (ص - 1) / 2 عدد صحيح ، لذلك يتعين علينا: ال - 1)/2 ≡ 1 (وزارة الدفاع ص).

المعروف الآن باسم Euler Criterion ، كانت هذه نقطة الانطلاق لـ Euler للتحقيق في مظاهرة LRQ. لنذكر معيار أويلر:

دع p يكون رئيسًا غريبًا و عددًا صحيحًا بحيث لا يقسم p.

الرقم a عبارة عن وحدة الباقي التربيعية p if ، وفقط إذا, ال - 1)/2 ≡ 1 (وزارة الدفاع ص).”

على سبيل المثال ، ال = 3 عبارة عن معامل غير تربيعي ص = 7 ، لأن 33 = 27 ≡ -1 (وزارة الدفاع 7).

من ناحية أخرى ، ال = 3 هو معامل بقايا من الدرجة الثانية ص = 11 ، لأن 35 = 243 ≡ 1 (mod 11).

ومع ذلك ، فإن هذا المعيار غير عملي. على سبيل المثال ، إذا كنا نريد أن نقرر ما إذا كان عدد صحيح 17 هو وحدة بقايا التربيعية 1987 ، فعلينا أن نقرر ما إذا كان 17993 متطابق مع 1 وحدة 1987 (لاحظ أن (1987-1) / 2 = 993). لذلك ، هناك حاجة لمعرفة ما إذا كانت هناك طريقة أكثر ملاءمة.

ركز أويلر على الموقف حيث كلتا الأعداد الصحيحة ص و ف إنها أعداد أولية إيجابية وغريبة ومتميزة. حاول Legendre تقديم عرض لهذه الحقيقة في عام 1785 ، لكنه افترض نتيجة كانت مظاهرها أعمق بكثير من مظاهرة LRQ ، وهي أن بعض التعاقب الحسابي يحتوي على أعداد أولية لا حصر لها بين عناصرها.

ومع ذلك ، قدم Legendre الرمز التالي (ال/ص): (ال/ص) = 1 إذا ف هو بقايا من الدرجة الثانية صو (ال/ص) = -1 ، وإلا. هذا الرمز (ال/ص) يرضي العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، إذا ص هو ابن عم غريب و ال, ب هي الأعداد الصحيحة غير قابلة للقسمة من قبل ابن عمه صثم: الرمز مضاعف ، أي ((أب)/ص) = (ال/ص) (ب/ص)؛ إذا الب (وزارة الدفاع ص) ، ثم (ال/ص) = (ب/ص).

مع هذا الرمز (ال/ص) ، والمعروفة باسم رمز Legendre ، يتم التعبير عن LRQ بسهولة على النحو التالي:

(ف/ص) (ص/ف) = (-1)(ص - 1) / 2. (ف - 1) / 2.

يمكن صياغة LRQ بطرق أخرى. ضرب المساواة أعلاه من خلال (ص/ف) نحصل على المساواة

(ف/ص) = (-1)(ص - 1) / 2.(ف - 1) / 2(ص/ف),

بسبب (ص/ف) = ± 1. دعنا نقرر ما إذا كان عدد صحيح 30 هو معامل بقايا التربيعية 53 باستخدام LRQ. نلاحظ أولاً أن:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

بالنسبة لبقية تقسيم 53 في 3 هي 2 ، أي 53 ≡ 2 (وزارة الدفاع 3). بما أن 2 عبارة عن معامل غير تربيعي 3 ، يتبع ذلك (2/3) = -1. بواسطة LRQ ، (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5) ، لأن بقية تقسيم 53 في 5 هي 3 ، أي 53 ≡ 3 (وزارة الدفاع 5). بما أن 3 هي معامل بقايا غير تربيعي 5 ، يتبع ذلك (3/5) = -1. لذلك ، (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1 تعني أن 15 عبارة عن معامل بقايا من الدرجة الثانية 53.

يعتبر غاوس من قبل العديد من أن يكون واحدا من أعظم علماء الرياضيات الثلاثة في التاريخ ، جنبا إلى جنب مع أرخميدس ونيوتن. في سن السابعة عشر قرر تصحيح وإكمال البحث الذي قام به أسلافه في الحساب. كان لدى غاوس اهتمام كبير بالأسئلة الحسابية ، وتعرف عبارة:

"الرياضيات هي ملكة العلوم والحساب هي ملكة الرياضيات.

يعد عمل غاوس مصدر إلهام لإبداعه وإلقاء نظرة عميقة وحديثة على الأسئلة الرياضية. في كتابه "Disquitiones Arithmeticae" ، درس معادلات النوع سن º ال (وزارة الدفاع ص). هذه مشكلة صعبة لا تزال تتطلب التحقيق. ومع ذلك ، من خلال دراسة الوضع الذي ن = 2 ، اكتشف وأظهر LRQ.

في الفترة ما بين 1808 و 1832 ، واصل غاوس التحقيق في قوانين مماثلة للسلطات أعلى من المربعات ، أي العلاقات بين ص و ف مثل هذا ف كانت بقية مكعب من ص, (س3 º ف (وزارة الدفاع ص)) ، أو بقايا bikadratic (س4 º ف(وزارة الدفاع ص)) ، وهلم جرا. خلال هذا التحقيق ، حقق غاوس بعض الاكتشافات وأدرك أن التحقيق أصبح أكثر بساطة من خلال العمل على أعداد معقدة. م + نأنا أين م و ن هي الأعداد الصحيحة و أنا = (-1)1/2.

طور غاوس نظرية التعمير الأولية لهذه الأعداد المركبة Zأنا المعروف حاليا باسم أعداد صحيحة غوسية أو أعداد صحيحة غوسية على شرفه.

أثبت Gauss أن مجموعة الأعداد الصحيحة Gaussian ، المزودة بعمليات الجمع والضرب ، تؤدي إلى إنشاء بنية تسمى مجال التكامل. بالإضافة إلى ذلك ، أعداد الأعداد الصحيحة Gaussian تحلل أولي ، هذا التحليل فريد من نوعه ما لم يكن ترتيب العوامل تمامًا كما هو الحال مع مجموعة الأرقام بأكملها.

عمم غاوس فكرة الأعداد الصحيحة عند تحديد المجموعة Zأنا. وجد أن الكثير من النظرية القديمة لإوكليد لعوامل الأعداد الصحيحة يمكن أن يتم نقلها إلى المجال Z.أنا مع عواقب مهمة لنظرية الأعداد. ومع ذلك ، تصبح مشكلات قابلية القسمة معقدة في هذا المجال. لاحظ أن 5 هو رقم أولي في Z ، ولكن لم يعد أولي في Zأنا. في الحقيقة

(1 + 2أنا).(1 - 2أنا) = 1 - 2أنا + 2أنا - 4أنا2 = 1 - 4.(-1) = 5.

يطرح سؤال طبيعي: ما هي الأعداد الأولية للمجال الصحي Zأنا?

سيتم التعليق على هذا السؤال والأسئلة الأخرى المتعلقة بحساب عدد صحيح Gaussian في العمود التالي.

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: Week 8 (سبتمبر 2020).